Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/60 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 285/50 R20?
Решение
В маркировке 285/50 R20 ширина шины равна 285 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 285 · 50 / 100 = 142.5 мм. Ответ: 142.5.
Ответ: 142.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и нового колеса 285/50 R20. Ответ: 17.8.
Ответ: 17.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/60 R18 получаем диаметр 775.2 мм. Ответ: 775.2.
Ответ: 775.2
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и колеса 285/50 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$25 + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(25 + \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((25) + \frac{1}{1} = 26\).
Получили результат \(26\).
Ответ: \(26\).
Ответ: 26
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,45 до -0,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(-\frac{5}{2}\)
2
2,2
3
\(\frac{16}{5}\)
4
-0,2
Решение
Сравним числа -3,45 и -0,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(-\frac{5}{2}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{20} + \sqrt{5})\sqrt{5}$$
Найдите корни уравнения:
x2 + 12x + 36 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 12x + 36 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 12, c = 36.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 12² - 4·1·36 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -12 / 2 = -6
Ответ: -6
Ответ: -6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A.
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,65.
Ответ: 0,65
Ответ: 0,65
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 1/x
Б) y = 1x + 1
В) y = 2x² + 14x + 24
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2 = 15, sinα = 0,286, а S = 23,571.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).
d₁ = 2·23,571/(15·0,286) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 > 16
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² > 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: (-∞;-4) ∪ (4;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 24 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 32 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 32 с, значит его длина:
25 × 32 = 800 м.
Ответ: 800.
Правильный ответ: 800
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 2.
Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 3, AC = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 3 · 12 = 36.
Шаг 3. AB = √36 = 6.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
