Загрузка заданий...

Вариант 64 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 165/70 R13.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/65 R14?

Решение

В маркировке 165/65 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 165 · 65 / 100 = 107.25 мм. Ответ: 107.25.

Ответ: 107.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/50 R15?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 165/70 R13 и нового колеса 195/50 R15. Ответ: 14.8.

Ответ: 14.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 165/70 R13 получаем диаметр 561.2 мм. Ответ: 561.2.

Ответ: 561.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/60 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 165/70 R13 и колеса 175/60 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,45 : 0,008 + 2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,45 : 0,008 + 2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,45) : 0,008 = 56,25$.

Шаг 2: $(56,25) + 2 = 58,25$.

Ответ: $58,25$.

Ответ: 58,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от $-\frac{23}{40}$ до $\sqrt{5}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,125

$\frac{3}{2}$

-2,475

3,72

Решение

Сравним числа $-\frac{23}{40}$ и $\sqrt{5}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{3}{2}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{11} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{110}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√11 · 3√10 · √110.

Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.

Подкоренные выражения дают: √11 · √10 · √110 = √(11·10·110) = √(12100) = 110.

Тогда всё выражение равно 15 · 110 = 1650.

Ответ: 1650.

Ответ: 1650

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 4y = 27 \\ -8x - 8y = 0 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x + 4y = 27

-8x - 8y = 0

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -8, а второе — на 1.

Получим:

$(x + 4y = 27) \cdot -8$: -8x - 32y = -216

$(-8x - 8y = 0) \cdot 1$: -8x - 8y = 0

Вычтем второе уравнение из первого:

-24y = -216

y = -216 / -24 = 9

Подставим y = 9 в первое уравнение:

x + 4y = 27

Получаем x = -9.

Ответ: (-9;9)

Ответ: -9;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 85 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 115 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 115/200 = 0,575.

Ответ: 0,575.

Ответ: 0,575

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = 2x

Б) y = -1x

В) y = 0,5x - 2

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.

Решение

Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·14 = 62500.

Ответ: 62 500.

Ответ: 62 500

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-3x + 2 < -5x - 8

(-∞;-5)

(-∞;-3)

(-∞;0)

(-∞;5)

Решение

Решим неравенство: -3x + 2 < -5x - 8.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x < -10.

Делим обе части на 2: x < -5.

Значит, x меньше -5.

Этому соответствует промежуток (-∞;-5).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 15 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 15, d = 10, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·15 + 5·10)/2 = 240.

Ответ: 240.

Ответ: 240

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 20° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 20°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·20° = 40°.

Тогда ∠B = 180° - 40° - 20° = 120°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 74°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 74° = 106°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 106° / 2 = 53°.

Ответ: 53.

Ответ: 53

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 60° + 55° = 115°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.

Ответ: 65.

Ответ: 65

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 10 и 8.

S = 10 · 8 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-1)^2<\sqrt{2}(x-1)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-1)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-1)^2-\sqrt{2}(x-1)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-1)\bigl[(x-1)-\sqrt{2}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=1$ и $x=1+\sqrt{2}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(1;\; 1+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (1;1+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/69 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/111 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/69 + S/111) = 2 / ($\frac{1}{69}$ + 1/111).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·69·111 / (69 + 111) = 15318 / 180 = 85,1 км/ч.

Ответ: 85,1.

Правильный ответ: 85,1

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.

Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: -3.

Правильный ответ: -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 2 = 14 / 2 = 7.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы BCA и BDA равны по условию и опираются на хорду BA.

По обратной теореме четырёхугольник ABCD вписанный.

Шаг 2. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126° и 99°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 126° − 90° = 36°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 99° − 90° = 9°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 36° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 9° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 9° = 81°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 81° − 36° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 11 / sin(45°) = 11√2.

Ответ: 11√2.

Правильный ответ: 11√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.