Задание проверяет умение строить графики функций (парабола, гипербола, кусочная, с модулем) и находить значения параметра m по условию о числе общих точек с прямой y = m.
2 балла — график верный и параметр найден; 1 балл — график верный, параметр нет; 0 — всё остальное.
Алгоритм решения
Запиши функцию и определи её тип: парабола \(y=ax^2+bx+c\), гипербола \(y=k/x\), кусочная или с модулем.
Найди ключевые точки: нули функции (при y = 0), пересечение с осью y (при x = 0), вершину параболы \(x_0=-b/(2a)\). Сделай таблицу x → y для 5–7 точек.
Построй аккуратный график. Для кусочной — строй каждый промежуток отдельно и отмечай закрытые (●) и открытые (○) точки. Для функции с модулем — отрази нижнюю часть вверх.
Проведи пунктирную горизонтальную прямую y = m. Медленно двигай её снизу вверх и считай: сколько раз она пересекает график — 0, 1 или 2 раза. Запиши критические уровни m (вершина параболы, границы кусочной).
Запиши ответ: укажи все значения или промежутки m, при которых выполняется условие задачи (например: «при m > 3» или «m = −1»).
Типы функций
Парабола \(y = ax^2 + bx + c\)
Найди вершину \(x_0 = -b/(2a)\), вычисли \(y_0\). Возьми ещё 2–4 симметричных точки. Направление ветвей: вверх если \(a>0\), вниз если \(a<0\).
Гипербола \(y = k/x\)
Асимптоты — оси координат (\(x=0\) и \(y=0\)). Ветви в I и III четвертях при \(k>0\), во II и IV при \(k<0\). Возьми 3–4 точки в каждой ветви.
Кусочная функция
Строй каждый промежуток отдельно. На границе: закрашенная точка — если значение включено (\(\leq\) или \(\geq\)), пустая — если нет (строгое неравенство).
Функция с модулем \(y = |f(x)|\)
Сначала построй \(y = f(x)\). Всё что ниже оси x — отрази вверх (умножь y на −1).
Частые ошибки
⚠Строят параболу по двум точкам без вершины — форма искажается.
⚠Для кусочной функции не отмечают закрытость/открытость точек на границах промежутков.
⚠Для функции с модулем не отражают нижнюю часть графика вверх.
⚠Считают число пересечений только для части графика, не глядя на весь график целиком.
⚠Не учитывают особые позиции прямой y = m (касание вершины, прохождение через выколотую точку).
Теория — это хорошо. Практика — лучше.
Решайте задания этого типа с проверкой и пошаговым разбором — метод закрепляется на практике.